RASYONEL SAYILARLA ARÄ°TMETÄ°KSEL Ä°ÅžLEMLER

KESÄ°R

a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ÅŸeklindeki ifadelere kesir adı verilir. Burada a’ ya kesrin payı, b’ ye de kesrin paydası denir. Bir baÅŸka deyiÅŸle, kesir bir bütünün eÅŸit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır. Kesrin paydası, bütünün kaç eÅŸit parçaya bölündüğünü belirtirken, kesrin payı da bu eÅŸit parçalardan kaç tane alındığını gösterir. ÖrneÄŸin, 2/5 kesri, bir bütünün 5 eÅŸit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder.

DENK KESÄ°RLER

a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ile c/d birer kesir ve a.d = b.c ise, a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir. Örneğin, 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:
3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, … , 3m/5m, …
Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse, kesrin değeri değişmez. Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile çarpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir. Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:

Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bölünürse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir. Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:

BAYAÄžI KESÄ°R
a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir. Bayağı kesirler üçe ayrılır:

1. Basit Kesirler:
Payı, paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,
2/3, 3/5, 4/7, 1/2, 9/10, 1/3, 2/7, 10/15, …
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, basit kesirdir. Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir. Burada, 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için, birim kesirlerdir.

2. BileÅŸik Kesirler:
Payı, paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,
3/2, 5/3, 7/4, 2, 10/9, 3, 7/2, 15/10, 12/12, …
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, bileşik kesirdir. Çünkü, bu kesirlerin tümünün payı, paydasından büyüktür.

3. Tamsayılı Kesirler:
a, b, c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere,

şeklinde gösterilen kesirlerdir. Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir. Örneğin,

kesri, tamsayılı bir kesirdir. Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileÅŸik kesir ÅŸeklinde yazılabileceÄŸini görürüz. Aynı ÅŸekilde, bir bileÅŸik kesrin de tamsayılı kesir ÅŸeklinde yazılabileceÄŸini söyleyebiliriz. BileÅŸik bir kesri, tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bölünür, bölüm tam kısmını, kalan pay kısmını oluÅŸturur ve payda aynen alınır. ÖrneÄŸin, 11/5 bileÅŸik kesrini gözönüne alalım. 11, 5′ e bölünürse, bölüm 2 ve kalan 1 olduÄŸundan,

ÅŸeklinde yazabiliriz.
Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler.

Örnek:

kesrinin basit bir kesir olabilmesi için, x kaç tane değer alır?

Çözüm:
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için, payının paydasından küçük olması gerekir. Dolayısıyla, 2x - 3 < 12 olması gerekir. x’ i yalnız bırakabilmek için, 3 sayısını eÅŸitsizliÄŸin saÄŸ tarafına atarsak,
2x < 12 + 3
2x < 15
x < 15/2
bulunur. x doÄŸal sayı olduÄŸuna göre, 15/2′ den küçük doÄŸal sayılar,
x = {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}
dir. Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur.